Over de kansen om progressieve jackpots te winnen op gokkasten

Vaste en progressieve jackpots

Een progressieve jackpot bij een bepaald kansspel is een soort prijs die zich in de loop van de tijd opstapelt naarmate de mensen aan dat spel deelnemen of spelen. De progressieve jackpot accumuleert en verhoogt met elk nieuw spel en wordt vrijgegeven als één enkele prijs aan de winnaar, volgens de regels die gelden voor dat spel en dat casino. De progressieve jackpot wordt toegekend door willekeurige selectie aan één speler volgens de regels van het casino. In de meeste progressieve systemen zijn er vereisten waaraan een speler moet voldoen om in aanmerking te komen voor de progressieve jackpot – meestal moet de speler de hoofdprijs van het spel winnen (ook wel vaste of reguliere jackpot genoemd) of in sommige gevallen een willekeurig winnend resultaat; de meeste systemen vereisen dat de spelers inzetten van een bepaalde grootte plaatsen om in aanmerking te komen.

Een progressieve jackpot is een soort extra inzet die wordt aangeboden aan de in aanmerking komende spelers van het spel, bovenop het basisprijzenschema van dat spel. Tegenwoordig hebben we progressieve jackpots in bijna alle casinospellen, inclusief blackjack, baccarat, roulette, videopoker, keno en natuurlijk slots. Voordat de progressieve prijzen in casino’s werden geïntroduceerd, waren we gewend om een soort progressieve jackpot in loterijen te zien (als een trekking geen winnaar heeft voor de hoofdprijs, wordt het prijzengeld dat aan die prijscategorie is toegewezen toegevoegd aan de hoofdprijs van de volgende trekking, enzovoort, totdat een speler de jackpot wint; ook de stijgende pot van elke gespeelde hand in poker is een soort progressieve jackpot.

Aangezien de term ‘jackpot‘ in gokjargon wordt gebruikt voor zowel de hoofdprijs van een spel als voor progressieve jackpots, moeten we een onderscheid maken tussen de twee concepten: De hoofdprijs bij een gokkast is de prijs met de hoogste uitbetaling, met een vast uitbetalingspercentage (bijvoorbeeld 1.000 tegen 1) dat alleen geldt voor de inzet van de winnaar. Het wordt meestal gedefinieerd als geassocieerd met een combinatie met hetzelfde symbool met hoge uitbetaling op alle rollen van de machine (op een betaallijn). De progressieve jackpot staat niet vast en wordt continu geïnd tot hij vrijkomt, van de inzetten van alle spelers van die machine of van alle machines in het netwerk.

In dit artikel bespreken we de wiskundige en technische aspecten van de progressieve jackpots in gokkasten; de gokkasten met een progressieve jackpot worden meestal progressieve gokkasten genoemd.

Categorieën van progressieve slots

Er zijn drie grote categorieën progressieve gokkasten, afhankelijk van het aantal gokkasten dat deelneemt aan de jackpot en hun ruimtelijke verplaatsing.

• Standalone progressieven. Dit zijn individuele gokkasten die enkel van hun eigen inzetten geld verzamelen voor de progressieve jackpot. Het huidige progressieve jackpotbedrag wordt op de machine weergegeven door een jackpotmeter (of dikker). Dit waren de eerste progressieve gokkasten in casino’s in de geschiedenis van de gokkasten, maar ze zijn ook vandaag nog succesvol aanwezig en produceren jackpots van meer dan $10.000.
• Lokale progressieven. Bij deze gokkasten wordt het progressieve jackpotfonds verzameld van verschillende gokkasten in een casino. Ze zijn verbonden in een lokaal netwerk van 10 tot 100 machines. Elke speler op een machine in het netwerk neemt deel aan het jackpotfonds en iedereen die in aanmerking komt, kan het winnen, ongeacht op welke machine hij speelt. De jackpotmeter wordt weergegeven op de machines en ergens anders in het casino. Het is niet ongewoon dat de lokale progressives jackpots van meer dan een miljoen dollar vrijgeven.
• Progressieve breedbandnetwerken. Dit zijn progressieve jackpots die verbonden zijn in een netwerk van verschillende casino’s, online of fysiek, die op verschillende plaatsen werken, mogelijk over de hele wereld. Internettechnologie heeft dit netwerk mogelijk gemaakt, waarbij de progressieve jackpot gevoed wordt door de inzetten van een enorm aantal machines en kan oplopen tot miljoenen. De jackpot wordt vrijgegeven aan één enkele winnaar, die zich in om het even welke regio ter wereld kan bevinden.

De kenmerken van een progressief jackpotsysteem bij slots

Elk progressief-jackpotsysteem heeft zijn eigen kenmerken en regels.

Een kenmerk dat alle systemen gemeen hebben, is een startwaarde: de jackpot begint te accumuleren bij de eerste inzet die op een machine wordt geplaatst (individueel of in een netwerk) nadat de vorige jackpot is vrijgegeven (het bedrag wordt dus op nul gezet), maar de jackpot is pas beschikbaar voor een nieuwe vrijgave als het jackpotbedrag een bepaalde drempel bereikt, de seed genoemd.

De continue bijdrage aan het jackpotfonds kan zowel door inzet als door winst zijn. De eerste zorgt ervoor dat de meter stijgt bij elke nieuwe draai, terwijl de eerste bij elke nieuwe winst, als een percentage van deze bedragen naar het jackpotfonds gaat.

Er zijn twee soorten systemen met betrekking tot het vrijgeven van de jackpot: must-hit-by en onbeperkt.

De must-hit-by jackpot (ook wel mystery jackpot genoemd) heeft een maximale waarde en kan worden vrijgegeven op elk moment tussen het zaad en die maximale waarde. Het vrijgavepunt wordt willekeurig bepaald na elke reset van de meter en de winnaar is de speler wiens bijdrage aan het jackpotfonds ervoor zorgt dat de vrijgavewaarde wordt gehaald of overschreden. Hoewel het vrijgavepunt gebaseerd is op willekeurige generatie, is de basis van de selectie meestal niet uniform verdeeld over het meterinterval – sommige systemen bepalen de jackpot die moet vallen over de tweede helft van het interval, andere over een smaller interval, dicht bij de maximale waarde. Bijvoorbeeld, AGS must-hit-by jackpots zijn geprogrammeerd om te vallen in de buurt van de maximale waarde punt. Een statistische analyse van een versie van River Dragons, waar de progressieve jackpot begint op $ 4.000 en moet raken door $ 5.000, vond het gemiddelde punt dat het doet hit op $ 4.945.

De onbeperkte progressieve systemen hebben geen bovenlimiet voor de jackpot en deze kan op elk moment worden gewonnen nadat het zaad is gepasseerd, als aan de voorwaarden is voldaan. Daarom kan de meter van dergelijke systemen oplopen tot bedragen in de orde van miljoenen en tientallen miljoenen, voor de wide-area network progressives.

In tegenstelling tot het must-hit-by systeem, kan de willekeurige selectie van het moment waarop de jackpot valt gebaseerd zijn op verschillende variabelen. Het systeem kan bijvoorbeeld worden geprogrammeerd om de jackpot vrij te geven in een bepaald tijdsbestek van de dag, dat willekeurig wordt gekozen. De eerste speler die in dat tijdsbestek een reguliere jackpot of andere vereiste prijs wint, wint de progressieve jackpot. Een andere optie is om willekeurig een gokkast te kiezen in een bepaald tijdsbestek en te wachten tot een speler de jackpot wint bij die machine. Andere kunnen betrekking hebben op de waarde of eigenschappen van het meterbedrag in verband met het tijdsbestek, enzovoort. Als uiteindelijk niet aan de voorwaarden wordt voldaan, begint het systeem opnieuw met de willekeurige selectie voor een toekomstige jackpot, terwijl de meter stijgt. Het algoritme achter het proces om de jackpot te winnen is natuurlijk specifiek voor elk systeem en is geen beschikbare informatie. Het is geheim, net als de parametrische configuratie van elke gokkast.

De willekeurige selectie van de voorwaarden die de jackpot doen vrijkomen en de winnaar bepalen, voor elk type progressief jackpotsysteem, gebeurt door middel van een willekeurige getallengenerator (RNG) in de software van het systeem.

Naast de seed en de maximale waarde (voor de must-hit-by progressives), en de parameters van het algoritme voor willekeurige generatie, is er nog een parameter verbonden aan het systeem, namelijk de stijgingsgraad van de meter. Dit is een bepaald percentage van de inzetten of winsten dat naar de jackpot gaat om deze te laten accumuleren zoals weergegeven door de meter. Het stijgingspercentage van de meter is specifiek voor elk systeem en een veel voorkomende waarde is 2% of ongeveer, maar er zijn ook systemen met een percentage van 1% of minder.

De meeste systemen vereisen dat een speler de reguliere jackpot wint om in aanmerking te komen voor de progressieve jackpot. Andere vereisen dat elke prijs wordt gewonnen, terwijl andere (zelden) geen dergelijke vereiste hebben en elke speler de jackpot kan winnen, ongeacht of ze verliezen of winnen bij die spin. Meestal is er een inzetvereiste (alleen spelers die met het maximale krediet of de maximale denominatie hebben gespeeld, komen in aanmerking), die kan worden gecombineerd met de prijseis.

Ongeacht het type progressief (standalone, lokaal of breed netwerk), dit zijn de basiskenmerken van hun jackpotsysteem.

Een belangrijk onderdeel van het systeem is de RNG, die de jackpotwinnaar bepaalt en het systeem laat functioneren. We zullen het in de volgende sectie beschrijven.

Random Number Generators voor progressieven

Een willekeurige getallengenerator is elk middel (fysieke of elektronische opstelling of apparaat, of software) waarmee getallen in een bepaalde reeks of interval willekeurig kunnen worden gegenereerd. In deze context betekent willekeurig onafhankelijk van de eerder gegenereerde getallen (zonder determinatieregel) en uniform verdeeld over de verkregen reeks. Bij gokken moet willekeur van de processen die de uitkomsten van de spellen genereren gegarandeerd zijn, zodat de spellen eerlijk zijn voor de spelers en de spelers allemaal dezelfde kansen hebben om te winnen. De softwarematige willekeurige getallengeneratoren (ook pseudo-willekeurige generatoren genoemd, afgekort PRNG) worden gebruikt in hedendaagse casinospellen, inclusief in gokkasten.

De PRNG is een software-algoritme dat een reeks getallen genereert die zoveel mogelijk voldoen aan de eisen van onafhankelijkheid en uniformiteit. Het algoritme werkt door een beginwaarde, de ‘seed’, in het algoritme in te voeren. Het algoritme genereert een getal via zijn formules waarin de zaadwaarde de waarde van een variabele wordt. Vervolgens worden de volgende getallen gegenereerd als een functie van het vorige getal of de vorige getallen, volgens de specifieke wiskundige formules in kwestie.

Er zijn verschillende soorten RNG-algoritmen die elk een doel of toepassing dienen. De RNG-algoritmen kunnen verschillende wiskundige constructies gebruiken, die behoren tot verschillende wiskundige theorieën. Er zijn deze wiskundige constructies die de twee vereisten van onafhankelijkheid en uniformiteit garanderen.

Het werkingsschema van de PRNG voor casinospellen is heel eenvoudig: Aan de “stops” die de uitkomst van het spel bepalen (vakjes op het roulettewiel, stops van de gokkasten enzovoort) worden nummers toegekend (in één-op-één correspondentie), die vervolgens worden geassocieerd met de opdrachten van de machine. De uitvoer van de PRNG wordt door dat nummer geassocieerd met een bepaald commando dat de respectieve stop met zijn uitkomst weergeeft.

RNG-types

Bij progressieve gokkasten werken er twee soorten RNG’s: de ene is de RNG van de gokkast (of van elke machine, als we het hebben over een netwerk van progressieve gokkasten); de andere is de RNG van het jackpotsysteem.

Op gokkasten met virtuele rollen en sommige elektromecahnische gokkasten werkt de PRNG zoals algemeen beschreven voor alle casinospellen. Het enige verschil is dat willekeurige selectie vereist is voor elke rol afzonderlijk, aangezien de uitkomsten op de rollen onafhankelijk van elkaar moeten zijn. Een PRNG werkt dus voor elke rol en voert willekeurig getallen uit van 1 tot het aantal stops op die rol (meestal 22 voor elektromechanische gokkasten of 64, 128 of 256 voor virtuele gokkasten). De combinatie van symbolen die op een betaallijn verschijnen na de spin is eigenlijk de combinatie van getallen die de PRNG willekeurig selecteerde (één per rol).

Bij gokkasten genereert de PRNG getallen in de orde van honderden of duizenden per seconde en slechts één ervan bepaalt de uitkomst. Dit betekent dat de uitkomst wordt bepaald voordat de machine deze weergeeft.

De PRNG die de progressieve jackpot activeert en de winnaar bepaalt, verschilt van de PRNG die voor elke rol werkt en werkt onafhankelijk van deze laatste. Terwijl de laatste de gegenereerde getallen associeert met de stops van de rollen, associeert de eerste zijn outputs met ofwel een getal dat volgt op de jackpotmeter of met andere variabelen – zoals tijdsintervallen, identifiers van de machines in het netwerk, eigenschappen van de getallen die bepaalde spelrecords karakteriseren (inclusief de meterniveaus), enzovoort.

Voor het must-hit-by jackpotsysteem werkt de PRNG in het algemeen als volgt: Het genereert een willekeurig getal binnen het volledige bereik van het jackpotbedrag (minimale tot maximale waarde, als gehele getallen of decimale getallen) of binnen een gekozen interval binnen dit bereik, als het vrijgavepunt.

Voor het systeem met onbeperkte jackpot kan de PRNG getallen genereren die verband houden met tijdsintervallen, waarden van de meter, machines, inzetbedragen, enz. Het specifieke algoritme van het systeem combineert deze outputs om te bepalen wanneer de jackpot valt; dergelijke algoritmes variëren echter van systeem tot systeem en zijn niet bekend of voorspelbaar.

In elke jurisdictie zijn de casino’s verplicht om hun RNG software te laten testen en auditen door een onafhankelijke deskundige derde partij. De RNG’s die zulke tests en evaluaties doorstaan, worden door de kansspelautoriteit gecertificeerd als eerlijk, wat betekent dat ze voldoende willekeurig zijn en goed geïmplementeerd in de spelsoftware.

 Kansen in progressieve slots  

Nu we gezien hebben wat progressieve gokkasten zijn en hoe het progressieve jackpotsysteem in het algemeen werkt, kunnen we het hebben over de kansen om een progressieve jackpot te winnen bij gokkasten. Maar we moeten voorzichtig zijn met het gebruik van het woord ‘kansen‘, omdat het verschillende betekenissen kan hebben in verschillende contexten. Als we het hebben over kansen met betrekking tot een gebeurtenis, kunnen we vragen “Is er een kans?” of “Wat zijn de kansen?” (voor die gebeurtenis om te gebeuren). De eerste vraag geeft ‘kansen’ de betekenis van ‘mogelijkheid’ en is specifiek voor een reële context. De tweede vraag veronderstelt dat ‘kansen’ de betekenis hebben van een waarschijnlijkheid, en als er een meting verwacht wordt als antwoord op de vraag, wordt de betekenis ‘wiskundige waarschijnlijkheid’, en waarschijnlijkheid kan alleen geassocieerd worden met een wiskundige context.

Het beantwoorden van een vraag als “Wat is de kans…?” veronderstelt een precies antwoord en een geschikte wiskundige beschrijving van de situatie die de gebeurtenis genereert, zodat een kansberekening werkbaar is. Dit is niet het geval bij progressieve gokkasten en in het algemeen niet bij gokkasten. Zolang we de parametrische configuratie van het ontwerp van een gokkast niet kennen, is er geen kansberekening voor dat spel mogelijk. En zolang we dat niet kunnen voor een gokkast, des te meer kunnen we het niet voor een progressief jackpotsysteem, dat één of meerdere machines met een geheime configuratie en een verborgen algoritme voor het activeren van de jackpot omvat. Gegeven al deze voorwaarden is de juiste vraag om mee te beginnen met betrekking tot kansen: “Wat kunnen we weten over de kansen om een progressieve jackpot te winnen?”

Om antwoorden te kunnen geven, moeten we eerst enkele basisbegrippen uit de statistiek van slots kennen.

Verwachte waarde en huisvoordeel

Voor elke casino-inzet is er een statistische indicator die aangeeft hoe winstgevend die soort inzet is voor het huis. Dit is het huisvoordeel (HE – House Edge), wat een statistisch gemiddelde is uitgedrukt als het percentage van alle inzetten dat op lange termijn winst oplevert voor het huis. Huisvoordeel is het tegenovergestelde van de verwachte waarde van de inzet (EV – Expected Value), wat een statistisch gemiddelde is, uitgedrukt als de winst of het verlies dat de speler maakt met die inzet ten opzichte van zijn inzet op de lange termijn: HE = -EV.

Het huisvoordeel kan geassocieerd worden met een spel, niet alleen met een inzet. Casinospellen zoals gokkasten, roulette en blackjack hebben hun huisvoordeel; voor de rest van de casinospellen kunnen we het hebben over het huisvoordeel van elk soort inzet.

Het huisvoordeel is het belangrijkste criterium dat bepaalt of een kansspel winstgevend is voor de exploitanten en de moeite waard is om te spelen, als een soort wiskundige garantie. Om aan dit criterium te voldoen, moet het huisvoordeel positief zijn (en impliciet moet de verwachte waarde negatief zijn). Verwachte waarde en huisvoordeel liggen niet vast en variëren met de versies van het spel en ook met de strategieën die spelers gebruiken. Er zijn situaties en omstandigheden waarin de EV van een inzet een positieve waarde kan hebben en zulke situaties kunnen worden uitgebuit door spelers; het huis heeft daar echter geen probleem mee, omdat de totale winst wordt gegarandeerd door een positief huisvoordeel van dat spel.

Wat belangrijk is om te onthouden is dat zowel HE als EV statistische gemiddelden zijn. Statistisch gemiddelde is geen rekenkundig gemiddelde of gemiddelde, maar een soort limiet of een gewogen gemiddelde, waarbij de gewichten waarschijnlijkheden zijn van alle mogelijke gebeurtenissen ten opzichte van de uitkomst, geassocieerd met de uitbetalingspercentages van de verschillende uitkomsten. Daarom kunnen HE of EV niet geïnterpreteerd worden als geldend voor bepaalde tijdsintervallen of spelen, maar als “op lange termijn“, wat in de wiskunde een oneindig spel zou betekenen.

Een verwachtingswaarde van -2% voor een inzet betekent bijvoorbeeld dat ‘verwacht wordt dat je 2% van je inzetten op de lange termijn verliest, of dat je 2 cent per ingezette dollar verliest’, maar dit betekent niet dat je zo’n verlies zult ervaren binnen de volgende 10 of 100 of 1.000 spelen. Het is gewoon een statistische indicator voor dat soort weddenschap. Maar hoe meer van dat soort weddenschappen je speelt, hoe meer je totale verlies dat getal zal benaderen, ook al kunnen er tijdens het proces enkele winsten optreden en zelfs als op een bepaald moment je gecumuleerde winsten je gecumuleerde verlies overschrijden.

Onvoldoende begrip van de EV en HE als statistische gemiddelden is de oorzaak van veel misvattingen en denkfouten onder gokkers.

Toch is EV een belangrijk criterium bij het bedenken van de zogenaamde optimale strategieën voor games die dergelijke strategieën toelaten. Gokkasten zijn geen spel dat optimale strategieën toelaat, maar in progressieve gokkasten zijn er situaties waarin de EV positieve waarden bereikt, zoals we in de volgende sectie zullen zien.

Daarvoor moeten we vertrouwd zijn met de belangrijkste statistische begrippen die slots kenmerken, namelijk RTP (return to player) en volatiliteit.

RTP en volatiliteit bij slots

Rendement voor de speler (of terugbetalingspercentage, afgekort RTP) is gewoon een manier om het huisvoordeel van een spel uit te drukken, niet in termen van winst van het huis, maar van terugbetaling aan de spelers. Het is het percentage van alle inzetten in dat spel dat wordt terugbetaald aan spelers als winst. RTP is eigenlijk de verhouding gemiddelde winst / gemiddelde inzet (of totale winst / totale inzet, als je dat liever hebt): RTP = W/B.

De rekenkundige relatie tussen HE en RTP is: RTP = 1 – HE.

Nogmaals, RTP moet worden geïnterpreteerd als een statistisch gemiddelde, gewoon omdat HE zo’n gemiddelde is: De RTP van een gokkast of game is het percentage van alle inzetten dat wordt terugbetaald als prijzen aan de spelers die de machine gebruiken op de lange termijn. Dit betekent niet dat de RTP van toepassing is op de inzetten van één speler of over een bepaald tijdsbestek, maar op de totale geldstroom bij die machine, in gecumuleerde zin.

Gokkasten hebben meestal een RTP tussen 85% – 99%, maar deze statistische indicator is verborgen voor de meeste machines. Dit komt neer op een huisvoordeel tussen 1% en 15%. Afhankelijk van de producent en de lokale jurisdictie, kan je gokkasten vinden die deze informatie in hun help/over scherm tonen. Bij gokkasten met een verborgen RTP kan deze informatie achterhaald worden door statistische observatie en registratie gedurende lange tijd.

Volatiliteit is een term die in de gokervaring het statistische begrip variantie weerspiegelt. Variantie meet de afwijking van de waarden van de willekeurige variabele (de gegevens) van het gemiddelde of de verwachte waarde. In goktermen geeft variantie een maatstaf voor hoe vaak het spel gemiddeld prijzen vrijgeeft aan zijn spelers en hoe de gewonnen bedragen verdeeld zijn over de tijd.

In gokjargon wordt de term volatiliteit gebruikt in verband met variantie, vooral bij gokkasten. Volatiliteit is variantie over een bepaald tijdsinterval of aantal spelen en wordt meestal uitgedrukt als een getal op een schaal van 1 tot 5 of 1 tot 10 of als laag, gemiddeld of hoog.

Volatiliteit geeft weer hoe de uitbetaling verdeeld is over een gegeven aantal spelen, dat wil zeggen hoe vaak en hoe groot de winsten gemiddeld zijn over dat interval. Bij gokkasten met een lage volatiliteit kan je vaker winsten verwachten, maar in kleinere bedragen dan bij gokkasten met een hoge volatiliteit, waar je een tijdje kan wachten voor je wint. Zoals het geval is met RTP voor de meeste gokkasten, is de volatiliteit van een spel geen vrijgegeven informatie, maar kan het worden geschat met behulp van praktische statistische methoden.

Zowel RTP als volatiliteit zijn criteria om een gokkast te kiezen en ze tellen ook mee in de analyse van de progressieven.

Statistische indicatoren van de progressieven

We zagen dat voor de individuele gokkasten hun parametrische configuratie en statistische informatie ontbreekt, behalve de RTP in sommige gevallen. Het gebrek aan informatie over de configuratie verhindert ons om de kansen te berekenen om de winnende combinaties in het basisprijzenschema te vinden. Natuurlijk helpen de uitbetalingskansen die in het uitbetalingsvenster worden weergegeven niet bij het schatten van dergelijke kansen. Alleen als we het aantal stops van elke rol en de symboolweging op elke rol zouden kennen (informatie op het PAR-blad van het spel), zou een dergelijke kansberekening mogelijk zijn. RTP (indien beschikbaar) is ook niet voldoende om deze kansen te vinden.

Het niet kennen van de kans op het winnen van de reguliere jackpot op een machine of het winnen van een andere winnende combinatie maakt het ook onmogelijk om een objectieve schatting te maken van de kansen op het winnen van een progressieve jackpot, voor die progressieve systemen waar het winnen van die winnende combinatie deel uitmaakt van de voorwaarden om in aanmerking te komen. De enige situaties waarin een dergelijke waarschijnlijkheid geen invloed heeft op de kansen om de progressieve jackpot te winnen, zijn in die systemen waar elke speler in aanmerking komt ongeacht zijn winst (en als zodanig wordt de bijdrage aan het jackpotfonds gedaan per inzet en niet per winst).

Naast de gewone statistische indicatoren van een gokkast (waarschijnlijkheden, RTP, volatiliteit), zijn er nieuwe indicatoren die de statistieken aanvullen als de machine progressief is.

Een parameter die een progressief (en het systeem waartoe het behoort) karakteriseert, is de stijgingsgraad van de meter (r), die aangeeft welk percentage van de inzetten of van de prijzen naar het jackpotfonds gaat. De parameter r is ook onbekend, omdat de casino’s hem niet bekendmaken. Gebruikelijke waarden voor r zijn 1% en 2% van de inzetten, waarbij de laatste vaker voorkomt. De precieze r van een progressief kan worden achterhaald door observatie en tracking.

Voor progressieve per-inzetbijdragen moet je uitvinden hoeveel het kost om de meter 1 cent te laten stijgen door het spel zelf te spelen of door te kijken hoe iemand anders speelt. Als w het ingezette tegoed is en a de meterverhoging, dan is de snelheid waarmee de meter stijgt r = 100 x a / w (%).

Bijvoorbeeld, als je inzet van 50 cent de meter met 1 cent doet stijgen, dan is r = 100 x 1 / 50 (%) = 2%.

Een dergelijke methode werkt prima voor een standalone progressive, relatief prima voor een lokale progressive, maar voor een netwerkprogressive over een groot gebied kan het onderhevig zijn aan fouten en onnauwkeurige benaderingen, omdat je niet weet of meer dan één speler op een bepaald moment heeft bijgedragen aan de meterverhoging.

Wat betreft de per-win progressieven, de methode vereist een veel langere observatieperiode en is daarom moeilijker toe te passen.

De RTP van een progressieve

De RTP van een gokkast is veel moeilijker te achterhalen door statistische observatie en tracking. Het enige alternatief – als de informatie niet wordt gegeven op de help van de machine of op de website van de ontwikkelaar – is door te kijken naar rapporten van gokjurisdicties, aangezien deze rapporten algemene informatie bevatten over welke terugbetaling je gemiddeld van verschillende casino’s kunt verwachten.

RTP op een niet-progressieve gokkast wordt gedefinieerd als de gemiddelde winst / gemiddelde inzet, RTP = W/B.

Bij een progressieve gokkast voegt de cumulerende jackpot echter toe aan de winsten die horen bij het basisprijzenschema. We weten niet wanneer de jackpot zal worden vrijgegeven als een winst, het kan in de nabije toekomst gebeuren of pas na maanden; we weten ook niet welk jackpotbedrag zal worden vrijgegeven. Toch weten we zeker dat dit op een bepaald moment in de toekomst zal gebeuren. Dus bij een progressief is de werkelijke RTP inclusief jackpot (aangeduid met RTPp) hoger dan de reguliere RTP (berekend door alleen rekening te houden met de basisprijzen). Als W de gemiddelde reguliere winst is, J het progressieve jackpotbedrag en B de gemiddelde inzet, dan is:

RTPp = (W + J)/B = W/B + J/B = RTP + J/B > RTP

Aangezien de jackpot stijgt bij elke inzet en het niet bekend is wanneer hij wordt gereset, kunnen we redelijk stellen dat RTPp variabel is en stijgt met de jackpot. In tegenstelling tot de gewone RTP, die constant is voor een machine, moet de RTPp worden begrepen als afhankelijk van de meter: het drukt het gemiddelde terugbetalingspercentage uit over de lange termijn op het moment van schatting, onder de veronderstelling dat het jackpotbedrag op zijn huidige waarde zou blijven.

Het is vermeldenswaard dat de bovenstaande formule voor de RTPp slechts illustratief is, om te zien hoe deze de reguliere RTP overtreft, maar de werkelijke RTPp in gegeven omstandigheden kan niet precies worden berekend, zelfs als we nu de reguliere RTP nemen.

Daarom stijgt het terugbetalingspercentage van de normale RTP naar boven met de jackpot. Maar vergeet niet dat de RTP onder de 100% ligt. Dit betekent dat op een bepaald moment, voor een bepaalde waarde van de meter, de RTPp op 100% komt en dan voorbij deze drempel zal gaan. Dit is het moment waarop de HE en de EV nul worden en dus wordt de EV positief na dit moment totdat de jackpot opnieuw wordt ingesteld.

Dat moment waarop de HE nul is, wordt het break-even punt van het progressieve systeem genoemd en is een belangrijke statistische indicator van het progressieve systeem, omdat het de enige is die een strategisch spel voor de jackpot genereert.

Het break-even punt van een progressieve slot

Het eerste dat opgemerkt moet worden is dat het break-even punt van een ongelimiteerd progressief systeem niet bepaald kan worden, zelfs als we de reguliere RTP kennen, zolang we geen informatie hebben over het algoritme om de jackpot te activeren. Dit geldt zowel voor een standalone machine als voor een netwerk.

Voor de must-hit-by progressieve systemen kan het break-even punt gewoon ruw geschat worden, als we de RTP en de stijgingsgraad van de meter r (verondersteld per inzet) kennen. Ervan uitgaande dat het algoritme dat de jackpot activeert willekeurig een bedrag kiest uit een uniforme verdeling van de bedragen op de meter, geeft de volgende vuistregel een benaderde waarde voor het bedrag op de meter dat overeenkomt met het break-even punt:

B = M x (1 – RTP + r) / (1 – RTP + 2r), waarbij M de maximale waarde van de jackpot is.

Bijvoorbeeld, een progressief systeem met een RTP van 95%, 1% percentage r en een maximale waarde van de jackpot van $5.000 zou het break-even punt ergens in de buurt van B = $5.000 x (1 – 0,94) / (1 – 0,93) = $4.285 hebben.

Hieronder staan de afgeronde rendementen van de bovenstaande formule voor verschillende waarden van M en van de RTP, voor twee gegeven waarden van r: 1% en 2%:

Break-even punt voor r = 1%

Break-even punt voor r = 2%

Wat is de strategische betekenis van het break-even punt? Bij gokken zijn omstandigheden waarin de EV van een inzet positief is zeer zeldzaam en worden ze geassocieerd met strategisch spel. Een positieve verwachting van een inzet betekent dat als je die inzet plaatst onder dezelfde omstandigheden op de lange termijn, je naar verwachting cumulatief meer zult winnen dan je zult verliezen met die inzet, dus theoretisch versla je het huis, zoals ze zeggen. Dit betekent niet dat je noodzakelijkerwijs winst zult maken in het volgende spel, of de volgende 10 spelen, of in de volgende week. Nogmaals, de theoretische winst die wordt uitgedrukt door een positieve EV is slechts een statistisch gemiddelde en kan alleen worden gerealiseerd na een groot genoeg aantal spelen in die omstandigheden. Bij progressieve gokkasten zijn deze omstandigheden die een positieve EV bepalen de momenten nadat de meter het break-even punt bereikt. Als je dus het break-even punt kan inschatten, is het wiskundig optimaal als strategie om hetzelfde spel pas na dat punt herhaaldelijk te spelen. Deze strategie voor progressieven wordt advantage play genoemd.

Factoren die de winkans beïnvloeden

Nu we hebben gezien hoe progressieve spelen werken, wat hun kenmerken en statistische indicatoren zijn, kunnen we terugkomen op onze vragen over de winkansen van de progressieve jackpot. In welke betekenis we de term ‘kansen’ ook gebruiken, de mogelijkheid om te winnen en de waarschijnlijkheid ervan worden beïnvloed door verschillende factoren die de processen waarmee het progressieve systeem functioneert en de spelregels karakteriseren.

Voor de meeste progressives is de belangrijkste voorwaarde dat de speler de reguliere jackpot of een andere prijs wint. Voor deze spellen moet je dus geluk hebben om een prijs te winnen voordat je hoopt op de grote jackpot.

Volatiliteit van een spel geeft aan hoe vaak de machine zijn prijzen uitbetaalt, inclusief de hoogste basisprijs. Machines met een hoge volatiliteit betalen hun hoofdprijzen minder vaak uit dan machines met een lage of gemiddelde volatiliteit en de basisjackpot is een toekenningsvoorwaarde voor de meeste progressives.

Op voorwaarde dat je spel voldeed aan de voorwaarden om in aanmerking te komen (vereiste inzetgrootte en/of prijshit), is het algoritme voor het activeren van de jackpot (inclusief de RNG) de heerser voor het bepalen van de gelukkige winnaar onder alle in aanmerking komende spelers. Zolang dit algoritme niet bekend is, zullen we nooit weten hoe een bepaald spel de winkans beïnvloedt. Het kan bijvoorbeeld beter zijn om binnen een bepaald tijdsbestek van de dag te spelen, of binnen een bepaald bereik van de meter, of later na een winst, enzovoort. Als het algoritme echter onbekend is, krijgen alle soorten spelen dezelfde kansen om de jackpot te winnen. Daarom hebben de volgende mythes geen wiskundige objectiviteit met betrekking tot de winkans:

• Vermijd een machine die onlangs een reguliere of progressieve jackpot heeft uitgekeerd;
• Wachten tot de meter zeer hoge waarden bereikt (voor onbeperkte progressieven);
• De inzetgrootte verhogen als dit geen vereiste is om in aanmerking te komen;
• In het voordeel spelen voor een beperkt aantal spins (voor must-hit-by progressives).

Het niveau van de meter kan aangeven dat de kans op het winnen van de progressieve jackpot hoger is dan bij een lager niveau alleen voor de must-hit-by progressieven. De attributen van het niveau van de meter kunnen ook betrokken zijn bij het algoritme van het activeren van de jackpot, maar we kunnen niet weten of dat het geval is en hoe ze betrokken zijn.

Het aantal spelers dat momenteel betrokken is bij het netwerk is een factor die een directe invloed heeft op de waarde van de meter (hoe meer spelers, hoe sneller het niveau stijgt) en de kans dat men de reguliere jackpot of een andere prijs wint (hoe meer spelers, hoe groter de kans dat men wint). Zowel het niveau van de meter als het winnen van een basisprijs zijn gerelateerd aan het vrijkomen van de progressieve jackpot via het triggering algoritme. De factor aantal spelers geldt ook voor de progressieven per inzet.

Al deze factoren beïnvloeden de winkansen als mogelijkheid; het zijn meer deterministische factoren die ervoor zorgen dat de gebeurtenis plaatsvindt in plaats van stochastische informatie die nodig is voor het schatten van een winkans. Voor het voordeelspel (in het geval van must-hit-by progressives) kunnen we zeggen dat de kansen hoger zijn dan voor een willekeurig (niet-strategisch) spel, waarbij ‘kansen’ de kwantitatieve betekenis hebben van verwachting en niet van waarschijnlijkheid.

De hoogste progressieve jackpot wint

Hoe groot de kans op het winnen van een progressieve jackpot ook is, jackpothits komen vaak voor, wat de hoop van andere spelers aanwakkert en hen doet jagen op een grote winst. Het is net als in de loterij – we zien hoe de jackpot het leven van andere mensen verandert en we willen in hun schoenen staan. De hoge waarden van de jackpot zijn het belangrijkste element dat bijdraagt tot de populariteit van het progressieve systeem van gokkasten, want het zijn de hoogst mogelijke prijzen in casinogokken. In de geschiedenis van de progressieve gokkasten staan de volgende jackpotwinsten bovenaan:

• 1) $39,7 miljoen was de grootste gokkast jackpot aller tijden, gewonnen in Excalibur Casino in Las Vegas. De jackpot viel in 2003 op een Megabucks gokkast.
• 2) $35 miljoen was de op één na grootste jackpot bij gokkasten, gewonnen in Desert Inn, Las Vegas, in 2000, opnieuw bij een Megabucks gokkast.
• 3) $27,6 miljoen als derde plaats werd geboden door hetzelfde Megabucks merk, in Palace Station Casino, in Las Vegas, in 1998.
• 4) De jackpot van €17,8 miljoen werd online gewonnen op de website PAF.com, in 2013, door een speler die aan de rollen van Mega Fortune draaide.
• 5) De jackpot van $22,6 miljoen werd in 2002 gewonnen in Bally’s, in Las Vegas, met een Megabucks-machine.
• 6) $21,3 miljoen werd gewonnen in het beroemde casino Caesars Palace in Las Vegas in 1999, opnieuw op een Megabucks gokkast.
• 7) $21,1 miljoen gewonnen in 2005 in het Cannery Casino & Hotel in Las Vegas staat bovenaan, maar er zijn nog veel meer miljoenenwinsten in de geschiedenis van de progressieven.

Elke vermelding in deze top heeft natuurlijk zijn eigen geschiedenis en sappige details, waarvan ik zeker weet dat ze de moeite waard zijn om te vertellen. Het enige zijdelingse detail dat relevant is voor onze analyse van progressieven en de kansen om de jackpot te winnen, is dat bijna alle winnaars in deze top hun overwinning behaalden tegen minimale kosten – hun gecumuleerde inzetten in de gelukssessie varieerden tussen 25 cent en een paar honderd dollar. Met zulke lage investeringen kunnen we redelijkerwijs aannemen dat ze geen strategisch spel hebben gebruikt in verband met hun winsten, noch hun kansen hebben vergroot door een hoge bankrol. Een verrassend detail verschijnt nog in het geval van de winnaar op de zevende plaats, die zestien jaar eerder 4,6 miljoen won op een andere locatie; geluk slaat echter soms toe op de meest merkwaardige manieren en deze gebeurtenis ondermijnt niet noodzakelijkerwijs de vorige veronderstelling met betrekking tot strategie.

Kunnen de kansen op het winnen van de jackpot worden vergroot?

Bij deze vraag is de belangrijkste betekenis van ‘kansen’ die in je opkomt die van waarschijnlijkheid. Laten we, voordat we het hebben over het vergroten van de winkans, eerst eens kijken wat we kunnen weten over de waarde van deze kans.

 Spelen met waarschijnlijkheidscijfers en -ordes

Een veelgebruikt cijfer is dat van 1 op 50 miljoen als gemiddelde, in de orde van grootte van de kans om de loterij te winnen voor veel staatsloterijen (bijvoorbeeld, de kans om de hoofdprijs te winnen in een 6/49 loterij is ongeveer 1 op 14 miljoen). Ik heb geen idee op welke gronden en hypotheses zo’n schatting gemaakt zou zijn, maar ik zie de relevantie ervan ook niet. Want waar we het hier over hebben is het vergroten van deze kansen en de vraag rijst of het enig verschil zou maken als de kans vergroot zou worden (indien mogelijk) van 1 op 50 miljoen naar 1 op 40 miljoen of 1 op 1 miljoen of zelfs naar 1 op 100.000?

Met betrekking tot het cijfer zelf, is het enige dat we zeker weten dat voor de progressieven per winst de kans veel lager is dan de kans om de vereiste basisprijs te winnen. Om de progressieve jackpot te winnen, moeten er namelijk twee onafhankelijke gebeurtenissen plaatsvinden: de eerste is dat de speler de basisprijs wint en de tweede is dat het algoritme die winst kiest voor het vrijgeven van de jackpot. Een van de basiseigenschappen van waarschijnlijkheid is dat de waarschijnlijkheid van een samenloop van onafhankelijke gebeurtenissen het product is van de waarschijnlijkheden van elke gebeurtenis:

P(Jp) = P(Jb) x P(R), waarbij P(Jp) de kans is dat de speler de progressieve jackpot wint, P(Jb) de kans is dat hij de basisjackpot wint en P(R) de kans is dat het algoritme de jackpot voor die winst vrijgeeft.

We weten allemaal dat waarschijnlijkheid een deelbaar getal is en als we het product van twee van zulke getallen maken, zal het product veel lager zijn dan elk van de twee factoren. P(Jb) is niet te berekenen voor spellen waarvan de parametrische configuratie verborgen is. Als oefening nemen we een denkbeeldig gokkastspel met 3 rollen met 32 stops op elke rol en één top-award symbool op elke rol. De kans dat hetzelfde symbool op de winlijn verschijnt bij een draai is (1/32) x (1/32) x (1/32) = 1/32.768, of 1 op 32.768, als P(Jb).

Nu weten we dat P(Jp) veel lager zou zijn dan dit getal, maar we kunnen geen realistische schatting maken, omdat we niets weten over het triggering-algoritme om P(R) te schatten. Sommige basis jackpot winnende combinaties kunnen een hogere waarschijnlijkheid, maar het is eerlijk om te veronderstellen dat het niet in een orde lager dan 1 op duizenden, andere hebben een lagere kans.

Een preciezere berekening staat in het volgende voorbeeld. Ga uit van hetzelfde spel met 3 rollen in een must-hit-by progressief systeem met de metergrenzen $1.001 – $4.000. Stel dat het algoritme willekeurig een meterniveau kiest voor vrijgave over de uniforme verdeling van de gehele getallen binnen het meterbereik. We hebben 3.000 van zulke getallen, dus P(R) = 1/3.000. Dan is P(Jp) = (1/32.768) x (1/3.000) = 1/98.304.000.

Natuurlijk zijn alle kansen die hierboven zijn besproken van toepassing op een enkele spin. De algehele waarschijnlijkheid dat de speler de jackpot wint in meerdere spins neemt proportioneel toe met het aantal spins, maar ten koste van de bankroll, die op een gegeven moment uitgeput kan zijn.

Waarschijnlijkheidstoename/afname en optimaal spel

Zolang we het algoritme voor het activeren van de jackpot niet kunnen kennen, kan de theoretische winkans alleen maar toenemen door meer spins. Voor het onbeperkte progressieve systeem maakt het niet uit wanneer, hoe of voor welke prijs, maar alleen hoe lang, als het spel eenmaal gekozen is. Hoe meer spins je maakt, hoe hoger je winkans, maar onthoud altijd hoe laag deze is, net als in de loterij. Eigenlijk geldt dit principe ook in de loterij – je verhoogt je winkans enkel door meer tickets te kopen, wat je investering verhoogt. Hetzelfde gebeurt bij progressieve gokkasten – je bankroll raakt uitgeput als je lang speelt, dus wordt het een beslissende factor in je streven naar de jackpot.

Systemen die een bepaalde inzetgrootte vereisen om in aanmerking te komen, zorgen ervoor dat de bankroll sneller uitgeput raakt.

Het meterniveau is geen factor die de winkans bij onbeperkte progressieven beïnvloedt. Echter, hoe hoger het meterniveau, hoe meer spelers worden aangetrokken om mee te doen, het niveau stijgt, maar de winkans daalt. Het is duidelijk dat de populairste spellen in wide-area netwerken de laagste winkansen bieden.

De dingen liggen een beetje anders bij must-hit-by progressives. Als we het hebben over winkansen als waarschijnlijkheid, dan zijn dezelfde kansen voor elk niveau van de meter (uitgaande van een uniforme verdeling van de willekeurige selectie). Als we het hebben over kansen als verwachting, zagen we dat na het break-even punt de EV positief wordt en dit impliceert een optimaal spel (het voordeelspel). De directe aanbeveling is dan om dergelijke progressieven pas te spelen nadat de meter het break-even punt is gepasseerd (ervan uitgaande dat de bepaling van dit punt mogelijk is). Dit voordelige spel moet echter goed worden begrepen: door dit te doen, verhoog je niet je winstkans in een spin of over de hele speelsessie. Je bent enkel verzekerd van een positieve winst wanneer je op lange termijn de jackpot wint. Om de hoogst mogelijke kans te hebben dat dit gebeurt, moet je altijd op deze manier spelen elke keer dat je terugkomt bij dat spel na een verliezende sessie. Het is net als bij blackjack, bijvoorbeeld, wanneer optimaal spelen niet betekent dat je de dealer in een bepaald spel zult verslaan (ook al kan de strategie de winkansen ook vergroten), maar dat je op de lange termijn een positieve winst zult hebben door de strategie te herhalen.

Nogmaals, herhaald spelen is afhankelijk van je bankroll. Ook al garandeert een positieve verwachting winst op de lange termijn, je bankroll kan het lange spelen misschien niet volhouden. Het is zoals bij roulette martingale, waar de wiskunde zegt dat je zeker kan winnen, maar beperkte fondsen en casino beperkingen in dit geval (en, natuurlijk, ongelukkige streaks) verhinderen dat. Een gokkast jackpot najagen is een riskante keuze en kan leiden tot ernstige financiële schade.

Tips en aanbevelingen

• Gezien alles wat gezegd is over kansen bij progressieve gokkasten, is het volgende advies geen uitdrukking van een optimale strategie (behalve de break-even puntregel), noch is het gegarandeerd dat het je winkansen voor bepaalde systemen en in specifieke omstandigheden verhoogt. Het is eerder een advies om ervoor te zorgen dat je in aanmerking komt en veilig in het spel blijft als je de progressieve jackpot wilt winnen.
• Laat je informeren over het spel dat je wilt spelen. Dit omvat het lezen van het helpscherm voordat je speelt om te zien wat er nodig is om een jackpot te winnen. Je kunt ook op zoek gaan naar informatie buiten de machine, zoals een statistisch overzicht van vrijgekomen prijzen, RTP en volatiliteit.
• Speel minimum inzetten als ze in aanmerking komen voor de jackpot, om je bankroll zoveel mogelijk op peil te houden.
• Speel niet met minimum inzetten als ze niet in aanmerking komen voor de jackpot.
• Blijf bij het progressief dat je hebt gekozen en spendeer je geld niet aan andere spellen.
• Richt je niet alleen op de meter en vergeet de machine waarop je speelt. Controleer de uitbetalingskansen van de vereiste basisprijs en kies spellen met lagere uitbetalingskansen, omdat deze worden geassocieerd met een hogere kans om die basisprijs te winnen.
• Kies machines met een hoge RTP en een hoge volatiliteit als dat mogelijk is, voor progressieve systemen waarbij het winnen van de basisjackpot vereist is, en met een lage tot gemiddelde volatiliteit als andere kleinere basisprijzen vereist zijn (als die informatie beschikbaar of opvraagbaar is).
• Negeer de mythes van progressieven, zoals het vermijden van een machine die net een prijs heeft vrijgegeven.
• Schat waar mogelijk het break-even punt in voor de must-hit-by progressives en speel pas nadat het break-even punt op de meter is gepasseerd.
• Kies een klein netwerk van progressieven om je concurrentie te verminderen.
• Speel in lokale netwerken met een minimum aantal spelers.
• Kies progressieve jackpots die in het verleden hebben uitbetaald.
• Stel de limieten van je bankroll in voor elke sessie en voor een langere periode vooruit (week of maand) en voed het niet met extra fondsen als het op is.

Conclusie

We kunnen over de ‘kansen’ op het winnen van een progressieve jackpot bij gokkasten spreken met twee betekenissen: de kans op het winnen van de jackpot op een bepaald moment of over een speelinterval, en de verwachte waarde van een spel op lange termijn. Het gebrek aan informatie over de parametrische configuratie van de gokkasten verhindert een precieze kansberekening met betrekking tot de kans op het winnen van de basisjackpot en andere prijzen; bijgevolg kan de kans op het winnen van de progressieve jackpot niet worden geschat, temeer daar het algoritme voor het activeren van de jackpot ook niet bekend is. De RTP en andere statistische informatie – indien beschikbaar – niet voldoende voor dergelijke berekeningen.

De winkans verhogen kan alleen door meer spins te spelen en netwerken met minder machines en spelers te kiezen, maar niemand kan zeggen wat de winstkans zou zijn en of het echt de moeite waard is.

Het enige beschikbare strategische spel is voor de must-hit-by progressieven, ervan uitgaande dat men het break-even punt van de meter kan bepalen door het invoeren van de RTP, de snelheid van de meterstijging en de jackpot bovengrens. De optimale strategie is om deze progressieven pas te spelen als het niveau van de meter het break-even punt overschrijdt, maar deze strategie brengt geen verhoging van de winkans met zich mee, maar garandeert enkel een positieve winstverwachting op lange termijn.

Het beheer van de bankroll en een verantwoordelijke houding zijn essentieel bij het najagen van een progressieve jackpot, wat op zich al een riskante keuze is voor gokkers, omdat het kan leiden tot financiële schade en problematisch gokken.

Referenties

Bărboianu, C. (2022). Je spel begrijpen: Advies van een wiskundige voor rationeel en veilig gokken. Târgu Jiu: PhilScience Press.

Bărboianu, C. (2014). Is de geheimhouding van de parametrische configuratie van kansspelautomaten rationeel gerechtvaardigd? De onthulling van de wiskundige feiten van kansspelen als ethische verplichting. Tijdschrift voor kansspelvraagstukken, Vol. 29, 1-23.

Bărboianu, C. (2013). De wiskunde van slots: Configuraties, combinaties, waarschijnlijkheden. Craiova: Infarom.

Harrigan, K. A. (2007). Structurele kenmerken van gokautomaten: Vertekende kijk van spelers op terugbetalingspercentages. Journal of Gambling Issues, Vol. 20, 215-234.

Revie, M., & Quigley, J. (2014). Risicobeoordeling van progressieve casinospellen. Journal of Gambling Business & Economics, 8(1).

Turner, N. E., & Horbay, R. (2004). Hoe werken gokautomaten en andere elektronische gokmachines eigenlijk? Journal of Gambling Issues, Vol. 11.